Vẻ đẹp toán học qua lăng kính nghệ thuật

Sách là bản tự bạch tiếc nuối nhưng thâm thầm của một nhà toán học đã qua thời đỉnh cao ở tuổi xế chiều. Ông không viết để dạy toán mà để nói về vẻ đẹp của toán. Với văn phong rõ ràng, mạch lạc nhưng cũng tràn đầy đam mê, tác phẩm dễ hiểu và hấp dẫn không chỉ với người trong ngành mà còn với độc giả phổ thông.

Qua từng trang sách, Hardy truyền tải được tình yêu mãnh liệt dành cho toán, khơi dậy vẻ đẹp tinh tế của toán bằng một phép so sánh bất ngờ nhưng đầy thuyết phục: Toán học, như thơ ca hay hôi họa, là một nghệ thuật.

Godfrey Harold Hardy (G. H. Hardy) (1877-1947) sinh ra tại Cranleigh, Surrey, Anh quốc trong một gia đình trung lưu và theo nghề giáo. Ông được biết đến với những thành tựu của mình trong lý thuyết số và giải tích toán học. Trong sinh học, ông cùng với Wilhelm Weinberg phát hiện ra Phương trình Hardy-Weinberg để giải thích về trạng thái cân bằng di truyền của quần thể. Ngoài nghiên cứu của mình, Hardy được nhớ đến trong bài luận năm 1940 về tính thẩm mỹ của toán học, có tựa đề A Mathematician's Apology. Nguồn: Wikipedia

Hardy cho rằng nhà toán học, cũng như nhà thơ hay họa sĩ, là “một người sáng tạo ra những mẫu hình”. Nếu họa sĩ tạo ra mẫu hình bằng hình khối, màu sắc; nhà thơ tạo ra mẫu hình bằng ngôn từ, thì nhà toán học thêu dệt mẫu hình bằng ý tưởng. Chính vì vậy mà mà nó lâu bền hơn, bởi vì theo thời gian, ý tưởng ít sáo mòn hơn ngôn từ! Nhưng dù cho nhà nào, thì những mẫu hình phải đẹp.

Nhưng, như thế nào là đẹp? Quả là khó định nghĩa ngay cả với thơ ca chứ đừng nói chi đến toán. Giống như một bài thơ hay, một định lý đẹp là phải trang trọng. Nó có thể đơn giản nhưng không đơn điệu, trừu tượng nhưng không trống rỗng. Nó không chỉ đúng, mà phải kết nối với cái cũ và gợi mở về mặt tư duy theo những chiều hướng khác. Nó khiến phải người đọc kinh ngạc bởi sự bất ngờ, rồi lặng người đi cái đẹp, sức ảnh hưởng sâu sắc mà nó mang lại.

Để ví dụ cái đẹp của công thức toán học, Hardy nêu ví dụ về số √2. Số √2 xuất hiện trong bối cảnh hình học, khi các nhà toán học trường phái Pythagore đo đường chéo của một hình vuông cạnh là 1. Thời đó (Thế kỷ VI - V TCN) người ta tin rằng mọi đại lượng hình học đều có thể biểu diễn bằng tỉ số của 2 số nguyên (a/b). Cho đến khi một môn đồ của Pythagore chứng minh ngược lại, rằng không thể biểu diễn √2 bằng tỉ số của 2 số nguyên^(*). Điều này có nghĩa là có những đại lượng hình học tồn tại, nhưng nhận thức hiện thời (số hữu tỉ) không thể đo lường được.

Bìa cuốn Tự biện của một nhà toán học.

Sự ra đời của √2 đã phủ nhận ý tưởng rằng vũ trụ có thể đo lường trọn vẹn, rằng không phải mọi thứ đều xây được bằng viên gạch logic; có những thứ hiện hữu, sống động nhưng không thể diễn đạt được. Khái niệm mới ra đời: số vô tỉ. Một con số cực kỳ đơn giản nhưng cho kết quả bất ngờ và có sức mạnh làm rung chuyển cả nền móng của toán học và triết học, hơn 2.500 năm qua vẫn còn âm vang mãi.

Tóm lại, với Tự biện của một nhà toán học, G.H. Hardy, đã nâng toán học lên thành nghệ thuật. Ở đây vẻ đẹp được tạo nên từ sự trang trọng, thanh lịch và bất ngờ của ý tưởng. Vẻ đẹp của ý tưởng toán học không nằm ở ngôn từ hay màu sắc, mà là sự chính xác, đơn giản, nhưng mở ra những tầng suy ngẫm vượt thời gian. Với Hardy toán học có thể là thứ nghệ thuật tinh khiết nhất mà con người từng sáng tạo ra.

TS-BS. Nguyễn Ngọc Anh

_________________

* Hyppasus dùng phương pháp phản chứng để chứng minh √2 là số vô tỉ. Giả sử √2 là số hữu tỉ, nó sẽ được biểu diễn dưới dạng a/b = √2 (với a, b là số nguyên và không có ước số chung nào). Suy ra: a² = 2b, có nghĩa là a, b cùng là số chẵn. Như vậy trái với giả thiết ban đầu.